本試題集為北京大學(xué) 2025 年強基計劃校測數(shù)學(xué)真題，共 20 道題目，涵蓋代數(shù)、幾何、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、數(shù)列、組合數(shù)學(xué)等核心模塊。試題聚焦學(xué)科本質(zhì)，注重邏輯推理與綜合應(yīng)用，既考查基礎(chǔ)知識點的扎實程度，又凸顯選拔性特質(zhì)，適配強基計劃對拔尖人才的選拔需求。題目設(shè)計兼具深度與靈活性，從取值范圍、最值求解到方程根的性質(zhì)、集合計數(shù)等，全面檢驗考生的數(shù)學(xué)思維與解題能力，是備戰(zhàn)強基計劃校測的優(yōu)質(zhì)備考資料。

1. 已知 \( x^2 - y^2 = 1 \)，求 \( \frac{1}{x^2} - \frac{y}{x} \) 的取值范圍.

2. 求橢圓 \( x^2 - 2xy + 2y^2 = 4 \) 的面積.

3. 求 \( \sqrt{3 - 2x} + \sqrt{3x} \) 的最大值與最小值之和.

4. 求 \( \sqrt{x^2 - 2x + 10} - \sqrt{x^2 - 4x + 5} \) 的值域.

5. 滿足 \( \overline{ab} = a^2 + b^3 \) 的兩位數(shù)的個數(shù).

6. 已知 \( P(x) = x^3 + bx^2 + cx + d \)，且 \( P(1) = 2025 \)，\( P(2) = 4050 \)，求 \( P(5) - P(-2) \).

7. 已知 \( z_1 \) 在 \( 2 \) 與 \( 2i \) 的線段上，\( |z_2| = 1 \)，求 \( z_1 + 2z_2 \) 在復(fù)平面上掃過的面積.

8. 已知 \( a^{a^2} = 3 \)，求 \( a^6 \).

9. 已知 \( 2x^2 + y^2 = 1 \)，求 \( x + 2y \) 最大值.

10. 已知 \( |2\vec{a} - \vec| = |\vec{a} + 2\vec| = 1 \)，求 \( |3\vec{a} + 4\vec| \) 的最大值.

11. 求 \( \frac{xy + 2yz}{x^2 + y^2 + z^2} \) 的最大值.

12. 使得 \( x^{2025} = 2025 - ax = 2026 - bx \) 有解的 \( (a, b) \) 有幾組.

13. 若 \( \alpha、\beta \) 是 \( 3\cos x + 2\sin x = c \) 的兩解，且 \( \alpha + \beta \neq k\pi \)，求 \( \tan(\alpha + \beta) \).

14. \( \sum_{i=1}^{1012} (-1)^{i+1}\cos\frac{i\pi}{2025} = \)

15. 滿足各位數(shù)字由 \( 2、4、6、8 \) 組成，且含偶數(shù)個 \( 2 \) 的 \( 2025 \) 位數(shù)有幾個.

16. \( S = \{1, 2, \cdots, 2025\} \)。滿足 \( A, B \subseteq S \)，\( A \cap B \neq \varnothing \) 的二元集 \( \{A, B\} \) 有幾個.

17. 求 \( \sum_{n=1}^{2025} [\log_2 n] \).

18. \( z^6 + z^4 + z^3 + z^2 + 1 = 0 \) 所有正虛部的根之積為 \( P \)，則 \( \arg(P) \).

19. \( x^3 + ax^2 - (1 - a)^2 = 0 \)，\( x_1 \neq x_2 \neq x_3 \)，\( \sum \frac{x_1}{x_2x_3} > \frac{5}{2} \)，則 \( a \) 的取值范圍為.

20. \( \triangle ABC \) 中，\( D \) 在 \( BC \) 上，\( AD \) 平分 \( \angle BAC \)，\( AB = AD = 2 \)，\( BD = 1 \)，求 \( CD \).