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2024年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1．（4分）log2x的定義域        ．

2．（4分）直線x﹣y+1＝0的傾斜角大小為     ．

3．（4分）已知，則＝      ．

4．（4分）（x﹣1）6展開式中x4的系數(shù)為    ．

5．（4分）三角形ABC中，，則AB＝                 ．

6．（4分）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值為    ．

7．（5分）數(shù)列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范圍為         ．

8．（5分）三角形三邊長(zhǎng)為5，6，7，則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線的離心率為  ．

9．（5分）已知，求g（x）≤2﹣x的x的取值范圍        ．

10．（5分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD為平行四邊形，AA1＝3，BD＝4且，求異面直線AA1與BD的夾角                 ．

11．（5分）正方形草地ABCD邊長(zhǎng)1.2，E到AB，AD距離為0.2，F到BC，CD距離為0.4，有個(gè)圓形通道經(jīng)過E，F，且與AD只有一個(gè)交點(diǎn)，求圓形通道的周長(zhǎng)      ．（精確到0.01）

12．（5分）a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，滿足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序數(shù)列{b1，b2，b3，b4}有    對(duì)．

二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)

13．（4分）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　?。?/span>

A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c

14．（4分）空間中有兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不同的直線m，n，則下列說法中正確的是（　　）

A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n            B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，則n⊥β 

C．若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥n            D．若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥β

15．（5分）有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結(jié)、記事本、筆袋，第四個(gè)禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個(gè)盒子，設(shè)事件A：所選盒中有中國結(jié)，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則（　?。?/span>

A．事件A與事件B互斥                B．事件A與事件B相互獨(dú)立 

C．事件A與事件B∪C互斥                D．事件A與事件B∩C相互獨(dú)立

16．（5分）現(xiàn)定義如下：當(dāng)x∈（n，n+1）時(shí)（n∈N），若f（x+1）＝f′（x），則稱f（x）為延展函數(shù)．現(xiàn)有，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＝ex與h（x）＝x10均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論（　?。?/span>

（1）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）與y＝g（x）有無窮個(gè)交點(diǎn)

（2）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）與y＝h（x）有無窮個(gè)交點(diǎn)

A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 

C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立

三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）

17．（14分）已知f（x）＝sin（ωx+），ω＞0．

（1）設(shè)ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；

（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期為π，若在x∈[π，a]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

18．（14分）如圖，PA、PB、PC為圓錐三條母線，AB＝AC．

（1）證明：PA⊥BC；

（2）若圓錐側(cè)面積為為底面直徑，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大?。?/span>

19．（14分）水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱．

（1）隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；

（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各幾箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級(jí)果48個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．

20．（18分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A為橢圓上一點(diǎn)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求|AF1|的長(zhǎng)；

（2）設(shè)Γ的上、下頂點(diǎn)分別為M1、M2，記△AF1F2的面積為S1，△AM1M2的面積為S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范圍．

（3）若點(diǎn)A在x軸上方，設(shè)直線AF2與Γ交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)K，KF1延長(zhǎng)線與Γ交于點(diǎn)C，是否存在x軸上方的點(diǎn)C，使得成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

21．（18分）記M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．

（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；

（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求證：對(duì)于任意a∈R，都有M（a）?[﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．

（3）已知定義在R上f（x）有最小值，求證“f（x）是偶函數(shù)“的充要條件是“對(duì)于任意正實(shí)數(shù)c，均有M（﹣c）＝L（c）”．