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2024年上海市高考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共12題，滿分54分．其中第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果．

1．（4分）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，則＝         ．

2．（4分）已知，則f（3）＝            ．

3．（4分）已知x∈R，則不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集為            ．

4．（4分）已知f（x）＝x3+a，x∈R，且f（x）是奇函數(shù)，則a＝  ．

5．（4分）已知k∈R，＝（2，5），∥，則k的值為    ．

6．（4分）在（x+1）n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則x2項(xiàng)的系數(shù)為    ．

7．（5分）已知拋物線y2＝4x上有一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為9，那么P到x軸的距離為             ．

8．（5分）某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有A、B、C3種題庫(kù)，A題庫(kù)有5000道題，B題庫(kù)有4000道題，C題庫(kù)有3000道題．小申已完成所有題，他A題庫(kù)的正確率是0.92，B題庫(kù)的正確率是0.86，C題庫(kù)的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是                 ．

9．（5分）已知虛數(shù)z，其實(shí)部為1，且，則實(shí)數(shù)m為  ．

10．（5分）設(shè)集合A中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值     ．

11．（5分）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，BC＝CD，存在點(diǎn)A滿足∠BAC＝16.5°，∠DAC＝37°，則∠BCA＝      ．（精確到0.1度）

12．（5分）無(wú)窮等比數(shù)列{an}滿足首項(xiàng)a1＞0，q＞1，記In＝{x﹣y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若對(duì)任意正整數(shù)n，集合In是閉區(qū)間，則q的取值范圍是        ．

二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分．

13．（4分）已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是（　　）

A．氣候溫度高，海水表層溫度就高 

B．氣候溫度高，海水表層溫度就低 

C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì) 

D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)

14．（4分）下列函數(shù)f（x）的最小正周期是2π的是（　?。?/span>

A．sinx+cosx B．sinxcosx 

C．sin2x+cos2x D．sin2x﹣cos2x

15．（5分）定義一個(gè)集合Ω，集合元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，則（0，0，1）?Ω的充分條件是（　?。?/span>

A．（0，0，0）∈Ω B．（﹣1，0，0）∈Ω 

C．（0，1，0）∈Ω D．（0，0，﹣1）∈Ω

16．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?/span>R，定義集合M＝{x0|x0∈R，x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，在使得M＝[﹣1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（　　）

A．存在f（x）是偶函數(shù) 

B．存在f（x）在x＝2處取最大值 

C．存在f（x）為嚴(yán)格增函數(shù) 

D．存在f（x）在x＝﹣1處取到極小值

三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟．

17．（14分）如圖為正四棱錐P﹣ABCD，O為底面ABCD的中心．

（1）若AP＝5，，求△POA繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；

（2）若AP＝AD，E為PB的中點(diǎn)，求直線BD與平面AEC所成角的大小．

18．（14分）已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1）．

（1）若y＝f（x）過(guò)（4，2），求f（2x﹣2）＜f（x）的解集；

（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差數(shù)列，求a的取值范圍．

19．（14分）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：

（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？

（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）．

（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？

20．（18分）已知雙曲線Γ：＝1，（b＞0），左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)點(diǎn)M（﹣2，0）的直線l交雙曲線Γ于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限．

（1）當(dāng)離心率e＝2時(shí)，求b的值；

（2）當(dāng)，△MA2P為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接OQ并延長(zhǎng)，交雙曲線Γ于點(diǎn)R，若，求b的取值范圍．

21．（18分）對(duì)于一個(gè)函數(shù)f（x）和一個(gè)點(diǎn)M（a，b），定義s（x）＝（x﹣a）2+（f（x）﹣b）2，若存在P（x0，f（x0）），使s（x0）是s（x）的最小值，則稱點(diǎn)P是函數(shù)f（x）到點(diǎn)M的“最近點(diǎn)”．

（1）對(duì)于（x＞0），求證：對(duì)于點(diǎn)M（0，0），存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是f（x）到點(diǎn)M的“最近點(diǎn)”；

（2）對(duì)于f（x）＝ex，M（1，0），請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)P，它是f（x）到點(diǎn)M的“最近點(diǎn)”，且直線MP與f（x）在點(diǎn)P處的切線垂直；

（3）已知f（x）存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），函數(shù)g（x）恒大于零，對(duì)于點(diǎn)M1（t﹣1，f（t）﹣g（t）），點(diǎn)M2（t+1，f（t）+g（t）），若對(duì)任意t∈R，存在點(diǎn)P同時(shí)是f（x）到點(diǎn)M1與點(diǎn)M2的“最近點(diǎn)”，試判斷f（x）的單調(diào)性．